Что такое частичный предел

28.10.202314.08.2023 admin 0 Comments

Частичный предел

Нижним пределом последовательности (обозначается или ) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом ( или ) — наибольший элемент.

Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано — Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности непусто. Пусть s — верхняя грань множества A частичных пределов. Тогда заметим, что , а это означает, что в любой окрестности точки a₁ находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого , мы можем сказать, что в любой окрестности точки s содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку a₁ ). Значит, s по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность <x_n> сходится к a тогда и только тогда, когда , так как получается, что a — единственная предельная точка множества элементов последовательности.

Полезное

Смотреть что такое «Частичный предел» в других словарях:

ЧАСТИЧНЫЙ ПРЕДЕЛ — данной последовательности предел нек рой ее подпоследовательности. У всяком числовой последовательности (а также у всякой последовательности точек конечномерного евклидова пространства) существует, по крайней мере, один Ч. п. (конечный или… … Математическая энциклопедия

Частичный предел последовательности — Верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf) последовательности. Частичный предел некоторой последовательности это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательн … Википедия

Предел числовой последовательности — Предел числовой последовательности предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, предел … Википедия

Предел — объект, представляющий собой воображаемую или реальную границу для другого объекта. В математическом анализе см. Предел (математика), а также: Предел последовательности Предел функции Предел категории Частичный предел Проективный предел Банаховы… … Википедия

Предел (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Предел. Предел одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции. Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине… … Википедия

ПРЕДЕЛ — одно из основных понятий математики, означающее, что какая то переменная, зависящая от другой переменной, при определенном изменении последней, неограниченно приближается к нек рому постоянному значению. Основным при определении П. является… … Математическая энциклопедия

Предел — одно из основных понятий математики. П. постоянная, к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. Простейшим является понятие П. числовой … Большая советская энциклопедия

Числовая последовательность — Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия

Асимптотическая плотность — В теории чисел асимптотическая плотность это одна из характеристик, помогающих оценить, насколько велико подмножество множества натуральных чисел … Википедия

Источник

Подпоследовательности. Частичные пределы.

Подпоследовательность.

Пусть задана последовательность $\\>$. Рассмотрим строго возрастающую последовательность $\$ натуральных чисел, то есть такую, что
$$
n_ <1>Теорема.

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

$\circ$ Пусть $\\>$ — ограниченная последовательность, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку, то есть
$$
\exists a, \ b:\forall n\in\mathbb\rightarrow x_\in\Delta=[a, \ b].\label
$$

Разобьем отрезок $\Delta=[a, \ b]$ пополам точкой d. Тогда по крайней мере один из отрезков $[a, \ d], \ [d, \ b]$ содержит бесконечное число членов последовательности $\\>$. Если оба отрезка обладают этим свойством, возьмем, например, правый отрезок (и будем так поступать в дальнейшем). Выбранный отрезок, содержащий бесконечное число членов данной последовательности, обозначим $\Delta_1=[a_<1>, \ b_<1>]$, его длина равна
$$
b_<1>-a_<1>=\frac<2>.\nonumber
$$

Разделив отрезок $\Delta_<1>$ пополам, выберем указанным выше способом из двух получившихся отрезков отрезок $\Delta_<2>=[a_<2>,b_<2>]$, содержащий бесконечное число членов последовательности $\\>$.

Продолжая эти рассуждения, получим последовательность $\<\Delta_n=[a_n, \ b_n]\>$ отрезков таких, что:

Следовательно, $\Delta_n$ — стягивающаяся последовательность отрезков. По теореме Кантора существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам, то есть
$$
\exists c:\forall k\in\mathbb\rightarrow c\in\Delta_.\label
$$

Покажем, что найдется подпоследовательность $\>\>$ последовательности $\\>$ такая, что
$$
\lim_x_>=c.\label
$$

Так как отрезок $\Delta_<1>$ содержит бесконечное число членов последовательности $\$, то
$$
\exists n_<1>\in\mathbb:x_>\in\Delta_<1>.\nonumber
$$

Отрезок $\Delta_<2>$ также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому
$$
\exists n_2>n_1: x_\in\Delta_2.\nonumber
$$
Вообще, можно записать, что
$$
\forall k\in\mathbb\quad\exists n_k: \ x_\in\Delta_k, \ где \ n_1 Замечание.

Теорему Больцано-Вейерштрасса можно сформулировать так: любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

Источник

Подпоследовательности и частичные пределы последовательностей

Определение подпоследовательности

Свойства подпоследовательностей

Свойство 3 является следствием свойств 1 и 2.

Частичный предел последовательности

Произвольная последовательность может иметь конечное или бесконечное число частичных пределов ⇑.

5. Свойство частичного предела последовательности
Точка является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности.
Доказательство ⇓

Верхний и нижний частичные пределы

Рассмотрим множество частичных пределов последовательности. Эта теорема утверждает, что верхняя и нижняя грани этого множества являются ее элементами. То есть множество частичных пределов последовательности замкнуто, оно содержит свою границу. Для произвольного множества это может не выполняться. Например, для открытого интервала не существует наибольшего и наименьшего элемента, поскольку и верхняя грань b и нижняя a не принадлежит этому множеству.

Если последовательность не ограничена сверху, то ее верхний частичный предел равен плюс бесконечности:
.
Соответственно, если последовательность не ограничена снизу, то
.

Если последовательность ограничена, то ее верхний и нижний частичные пределы конечны.

8. Теорема о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами
Верхний и нижний частичные пределы последовательности удовлетворяют неравенству:
.
Частичные пределы равны друг другу тогда и только тогда, когда существует предел последовательности:
.
Доказательство ⇓

9. Связь верхних и нижних пределов между последовательностями n> и <–x_n>.
Имеет место очевидное равенство:
.

10. Свойства верхних и нижних пределов суммы последовательностей
Верхний и нижний частичные пределы от суммы последовательностей удовлетворяют следующим неравенствам:
;
,
где последовательности и ограничены.
Доказательство ⇓

11. Свойство верхних пределов произведения последовательностей
Пусть последовательность сходится к конечному положительному числу:
.
И пусть – любая последовательность. Тогда
.
Отсюда
.
Доказательство ⇓

Применяя равенство
,
можно получить другие подобные соотношения.

Доказательство свойств и теорем

Далее перечислены определения и свойства, которые мы будем использовать при доказательстве свойств подпоследовательностей.

1. Свойство подпоследовательностей сходящейся последовательности

2. Свойство последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному числу

5. Свойство частичного предела последовательности

Все свойства ⇑ Точка является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности.

Возьмем произвольную окрестность точки a : ⇑. В качестве первого члена подпоследовательности возьмем любой член последовательности, принадлежащий этой окрестности.

6. Теорема о существовании верхнего и нижнего частичных пределов

В этом случае точка является верхним частичным пределом последовательности.

Пусть последовательность ограничена сверху и при этом любой отрезок содержит только конечное число членов последовательности.

Поскольку мы выбирали самые правые отрезки с бесконечным числом членов, то точка c является верхним частичным пределом последовательности.

7. Свойство верхнего и нижнего частичных пределов

8. Теорема о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами

Все свойства ⇑ Верхний и нижний частичные пределы последовательности удовлетворяют неравенству:
.
Частичные пределы равны друг другу тогда и только тогда, когда существует предел последовательности:
.

10. Свойства верхних и нижних пределов суммы последовательностей

Все свойства ⇑ Верхний и нижний частичные пределы от суммы последовательностей удовлетворяют следующим неравенствам:
;
,
где последовательности и ограничены.

Докажем второе неравенство:
.
Умножим первое неравенство на – 1 :
.
Применим свойство 8 ⇑:
.

11. Свойство верхних пределов произведения последовательностей

Все свойства ⇑ Пусть последовательность сходится к конечному положительному числу:
.
И пусть – любая последовательность. Тогда
.
Отсюда
.

Из (10.1) и (10.2) следует, что
.
Свойство доказано.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник

Частичный предел последовательности

Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.

Содержание

Определение

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно или .

Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую. [1] Очевидно, что эти определения эквивалентны.

Обозначения

Нижний предел последовательности :

Верхний предел последовательности :

Примеры

Свойства