рис 475 доказать abc a1b1c1

Рис 475 доказать abc a1b1c1

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Прямые B₁C₁ и BC пересекаются в точке P.

а) Докажите, что треугольники PBC₁ и PB₁C подобны.

б) Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения высот треугольника ABC, если BP = BB₁, ∠ABC = 80°, а точка B лежит между C и P.

а) Точки B, C, B₁, C₁ лежат на окружности с диаметром BC, поэтому сумма углов BCB₁ и BC₁B₁ равна 180°. Отсюда следует равенство углов PC₁B и PCB₁. А тогда треугольники PC₁B и PCB₁ подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

б) Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Заметим, что треугольник PBB₁ равнобедренный, поэтому углы BPB₁ и BB₁P равны. А углы HB₁C₁ и HAC₁ опираются на одну и ту же дугу окружности, построенной на AH как на диаметре, поэтому они тоже равны. Последний же угол, как легко видеть равен Теперь получаем, что угол PBB₁ равен Угол ABB₁ же тогда равен откуда

Заметим теперь, что

поэтому треугольники AB₁C₁ и ABC подобны с коэффициентом Диаметр описанной окружности треугольника ABC равен Диаметры описанных окружностей подобных треугольников относятся как коэффициент подобия, поэтому Отсюда AH = 6.

Источник