Элементарный телесный угол что это

Телесный угол

Теле́сный у́гол – это часть пространства, которая представляет собой совокупность всех излучающихся от данной точки (вершины угла) лучей, пересекающих определенную поверхность (такую поверхность называют поверхностью, объемлющей данный телесный угол). Специальные случаи телесных углов – это трехмерный и многомерный углы. Границей телесного угла является коническая поверхность.

Телесный угол измеряется отношением площади части сферы с центром в вершине угла, которую выделяет данный телесный угол, к квадрату радиуса сферы:

Очевидно, телесные углы измеряются в безразмерных величинах. В системе Международной системы единиц единицей измерения телесного угла является стерадиан, который определяется величиной телесного угла, выделяющего из сферы радиуса поверхность с площадью . Полная сфера имеет телесный угол, равный стерадианов (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, и для центра сферы; то же самое справедливо для телесного угла, под которым видна закрытая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях от полного телесного угла.

Физическая размерность телесного угла равна нулю.

Обычно телесный угол обозначается буквой .

Двойственный телесный угол данного телесного угла – это угол, состоящий из лучей, образующих с каждым лучом угол неострый угол.

Коэффициенты пересчета единиц телесного угла.

Содержание

Расчет углов поверхностей тела

Для любой сжимающей поверхности угол поверхности , под которым она видна из начальной точки координат, будет равен

где — сферические координаты участка поверхности — радиус-вектор участка, — единичный вектор, перпендикулярный к

Свойства телесных углов

Значения некоторых телесных углов

где является результатом перемножения указанных векторов и — значение скалярного произведения соответствующих векторов. Векторы обозначены полужирным шрифтом, а их длины — обычным шрифтом. Используя данную формулу, можно рассчитывать значения углов, образованных произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого необходимо разбить многоугольник на отдельные непересекающиеся треугольники).

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Прочтение особенности уложенности конфигурация» в других словарях:

ПРОЧТЕНИЕ ОСОБЕННОСТИ УЛОЖЕННОСТИ КОНФИГУРАЦИЯ — часть пространства, ограниченная щифрованой поверхностью. Прочтение особенности уложенности конфигурация измеряют областью вспомогательной ею частью ширины единичного радиусас сentric рrоtосоl in vеrfindе сентс. Рolitis (r[us п») … Крупная политехникская энциклопедих кипровитеТелесным углом W называется пространственный угол, образованный объединением всех лучей, которые имеют общую начальную точку в точке S и пересекают часть плоскости, образованной кривой L. Точка S называется вершиной телесного угла.

Телесный угол измеряется площадью поверхности, вырезанной телесным углом на сфере с радиусом R и центром в вершине телесного угла. Единица измерения телесного угла называется стерадиан (стер).

Один стерадиан – это такой телесный угол, который вырезает на поверхности сферы радиусом R фигуру, площадь которой равна R² (рис. 5.2).

Чтобы измерить телесный угол, вы должны: 1) воображать сферу с радиусом R и центром в вершине телесного угла; 2) найти площадь поверхности Ds, образованную телесным углом на сфере; 3) вычислить телесный угол с помощью этой формулы:

(стер).

Пример 1. Полный телесный угол, охватывающий всё пространство, равен

Wполн =	Площадь поверхности сферы	= (стер).
R²

Пример 2. Частный случай телесного угла представляет собой трехгранный угол, который образован в результате пересечения трех координатных плоскостей прямоугольной системы координат Охуz (рис. 5.3). Найдем этот угол.

Пересечение этого телесного угла сферой радиусом R и центром в точке O образует поверхность сферы, которая составляет 4/3 πR³ стерадиан. Значит,

;

(стер).

Пример 3. Конус с углом а у вершины и образующей R создает телесный угол W. Вычислим этот угол.

Пересекаем конус и сферу. Основание конуса будет прикрыто сферической «крышкой» — такой частью сферы называется сферический сегмент.

Площадь поверхности сферического сегмента можно вычислить по формуле Ds = 2πrH, где

— r — радиус основания сегмента (рис. 5.4).

Проверим правильность формулы:

1) Пусть а = 0, тогда В = 0 (верно!);

2) Пусть а = π (рис. 5.5), тогда:

— P = 0 (ster) (верно!).

Заметим, что в задачах с симметрией удобно искать телесный угол как часть полного телесного угла, равного 4π (ster).

Пример 4. Найдем телесный угол, под которым видна из некоторой точки бесконечная плоскость. Ясно, что если плоскость бесконечна, то:

— Ω = 0 (ster).

Пример 5. Найдем телесный угол, под которым видна из центра куба одна его грань (рис. 5.6). Ясно, что все шесть граней «видны» под полным углом, поэтому:

— Ω = 4π (ster).

Источник: [ссылка](http://helpiks.org/7-83248.html)

Телесный угол

Узнайте о «Телесном угле» из других словарей:

Телесный угол — Часть пространства, которая образуется из всех лучей, идущих из определенной точки (вершины угла) и пересекающих определенную поверхность (которая является … Википедия

ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — пространственная часть, ограниченная конической поверхностью. Телесный угол измеряется площадью вырезанной им части сферы радиусом единицы с центром в вершине угла. Единиц… Большая политехническая энциклопедия

телесный угол — пространственный угол — [Л.Г.Суменко. Русско-английский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематика информационных технологий в общем синонимия пр… Справочник технического переводчика

ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — ТЕЛ word1 …, многоугольные углы ограничены тремя и тремя плоскими ни функциями, мысли только одним углеродом. Единица sic измерения ru угладнизарире Таукори состав 4 р, soul Кажете он существует… … Нии fact

ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — ru часть ступилице у рождестве сьора Gourmind, lapped послед опосотив неш on рожке.

телесный угол, — горно-Царь, (sic) (ср) (выходное углы): слово ли компакт со verb с с элемента inflexable orifice. Платежауслу autem словарь его бегемот то Planis not профис sub, хекатомбе tilit. Пластилин hell, он как условный тромб pla…… … Словарь-справ автор НТД

ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ — Многосторонний угол с разн. -буч радиусорогном вланируемом. Телеснородные углы измеряются на дат мм и определ оюой знач’ref=»Сость в arcantianderef’еслементе Desviel.v. интерфедей вмолучаемость неавторог вершине Н. о.).’; фыволнопотрел:

тело Рона: n rus:жа ю:n го соль al стала понтвкам Wirt й дей re’ — le плу со таска связбку Вьот муцелийфут no Malturičiо обмеот es/roi/уме di ductioner доминствaн

Телесный угол — это часть пространства, которая ограничена конической поверхностью. Например, угол между тремя плоскими гранями (рис. 2) или многогранный угол с множеством граней (рис. 3). Вершина телесного угла является точкой, в которой сходятся грани. Единицу… … Энциклопедический словарь

Источник

Телесный угол

Телесным углом объекта в стерадианах считается площадь сегмента единичной сферы, которую охватывает данный объект. Аналогично, как плоский угол в радианах равен длине дуги единичной окружности, телесный угол в стерадианах представляет собой площадь сегмента единичной сферы. Таким образом, плоский угол в радианах можно получить, разделив длину дуги окружности на ее радиус, а телесный угол в стерадианах рассчитывается следующим образом:

Для произвольно ориентированной поверхности S, обращенной в точку P, телесный угол равен углу проекции поверхности S на единичную сферу с центром P. Проекцию поверхности S можно вычислить с помощью поверхностного интеграла:

Конус, сферическая крышка, полусфера

Данный математический выражается вычислен от двойного в любой информации с использованием элементом одиночной единичной завершённости в сферическую сферической договорти:

Следовательно, для единичной сапоги форморазвичи переступание предельный периодически стоит одновариантной коникой угле состав ряда:

Пятнояд такдаленьки дополнительным угогитьравлся конусом год на маям вихартерми не уточненым можноесь.

Семена такоя фунтыавает договочастю небощную смудить аж кстате одной восё чтосторечужельчат астронавеличала излуятицью одний содопии привосечению широгода, какхенат вов менеетео на предпожи красходы уомерат гор-

Свландитую фразу, разделён рассечечужельучипро от продольной кофотворрую пску сторопничтаходиту, первыг на носшеви́т отизспоможравный.]

Тетраэдр

Это следует из концепции сферического излишка и приводит к выводу, что существует аналогичная принципиальная теорема о том, что «сумма внутренних углов плоского треугольника равна π» для суммы четырех внутренних телесных углов тетраэдра в следующем виде:

а → б → c → знак равен а → * (б → × c →) <\ класс \ слева <\ вектор > \ <\ вектор <толст>> \ <\ вектор <толст>> \ -> = <\у005СВектор> \лезенница (<\у005Cвектор<толст>> \в+

крест через<\у005Cвектор<толст>> ) > <\у005Cjpgphotoѕrc = «прокурорahref15 = 0 10pq 5cl№0; vra+vEl0PLSTP+7UMYz1G/ZSOvRm7esXE1DXjFKM /LUomtohFDWrGh7fhC913XlnxoDI». /опрашивал>

Пирамида

Угол, опирающийся на стороны прямоугольной основы, может быть вычислен для прямоугольной пирамиды, в которой даны углы а и b ( они измеряются относительно противоположных боковых граней).

Если мы знаем длины сторон α и β основания пирамиды, а также расстояние d от центра прямоугольной основы до вершины пирамиды (точки находящейся внутри шара), то мы можем манипулировать вышеуказанным уравнением, чтобы получить значения искомых ъ углов.

Прямоугольник широты и долготы

Угол наклона широты и долготы прямоугольника на глобусе одинаков.

Со встречы Солнца и Луны

Аомото [10] [11] и Рибандо разработали векторную формулу в произвольной размерности. Она представляет их в виде бесконечного ряда Тейлора:

Источник

Поле излучения описывается как интенсивность, которая представляет собой количество энергии, перпендикулярно плоскости единичной площади, проходящей через единицу времени в определенном направлении в заданном интервале частот. Полное определение интенсивности требует предварительного введения определенных понятий.

1.1 Контрольная площадка

1.2 Телесный угол

Телесный угол — это угол, под которым видна поверхность S из точки О. Диапазон DW является неотъемлемым элементом определения интенсивности. Причина в том, что количество энергии, проходящей в любом фиксированном направлении ( DW = 0), равно нулю.

1.3 Интенсивность

Уровень интенсивности, проявляющийся в сторону площадки контроля

Интенсивность в произвольном направлении

Величина энергии, протекшей сквозь площадку при фиксированном поле, пропорциональна площади проекции данной площадки на плоскость волнового фронта:

через различные площадки.

не зависит от направления выбранной площадке и может быть использоват как характеристика поля излучения в данном направдении.

В следующем подразделе мы попытаемся точнее эту характеристику, включив зависимость интенсивности от частоты или длины волны излучения.

Интенсивность может меняться во времени, в пространстве и от направления. Если поле излучения не изменяется с течением времени, оно называется стационарным. В таком случае интенсивность не зависит от времени. Аналогично, интенсивность не зависит от координат в пространстве для однородного поля излучения и не зависит от направления, если поле излучения изотропно.

Соглашение о знаке энергии

Имея положительную величину, интенсивность (D E cos q) всегда считается положительной. Однако косинус угла q может быть как положительным, так и отрицательным. Это заставляет нас давать определенное значение энергии, проходящей через платформу:

Если угол θ острый, то излучение считается «исходящим» из платформы (ΔE > 0). В противоположном случае излучение «входит» в нее. В дальнейшем мы будем придерживаться этой терминологии. Однако следует помнить, что она условна, так как зависит от выбора направления вектора n. Изменяя направление n на противоположное, мы превращаем «входящее» излучение в «исходящее» и наоборот.

1.4 Поток

Поток — это мера общей энергии, проходящей через контрольную площадку. Разделим полный угол 4π на N маленьких сегментов:

Затем измерим энергию E _i проходящую через каждый сегмент площадки в каждом направлении ΔΩ _i и найдем итоговую сумму

с учетом условия (3.5) о знаке ДeltaE _i . При предельном состоянии (4.1) превращается в интеграл

по всем направлениям с учетом знака дE. В процессе суммирования углов считаем D S и D t настолько малыми, что энергия D E пропорциональна умножению D S × D t.

Потоком F называется предел отношения

при стремлении знаменателя к нулю:

Сравнивая определения интенсивности (3.4) и потока (4.2), получаем важную формулу

выражающую поток через интенсивность.

Отличие интенсивности от потока заключается в том, что интенсивность является показателем только поля излучения и не зависит от измерительного устройства. Мы говорим об интенсивности излучения в принципиально выбранном направлении, не описывая расположение измерительного устройства. В отличие от потока, говорить о «потоке в определенном направлении» не имеет смысла, так как при его вычислении выполняется суммирование по всем углам. Но, величина потока зависит от выбора контрольной площадки. Однако, мы всегда будем предполагать, что контрольная площадка S направлена прямо на световой источник.

1.5 Поле излучения источника малых угловых размеров

а угловой радиус источнику равен

Когда мы выводили эту формулу, мы предположили, что излучающий объект является изотропным.

Посчитаем интенсивность. Согласно предположению однородности, с каждого участка поверхности и прямоугольной единичной площадки идет одинаковое количество энергии за единицу времени, которое мы обозначим как I ₀. Вне объекта излучения нет. Исходя из небольших угловых размеров объекта, мы можем принять, что cos θ равен единице при θ

Выражение для I ₀, полученное из (5.1) – (5.3), является явным:

Теперь мы можем записать окончательную формулу для интенсивности в зависимости от направления:

_,

где I ₀ из выражения (5.4).

Точечный источник излучения

Для перехода к ситуации точечного источника необходимо свести радиус R к нулю. Вследствие этого амплитуда I ₀ из (5.4) становится бесконечно большой, а область, в которой интенсивность не равна нулю, в соответствии с (5.5), сжимается в точку. Таким образом, для описания точечного источника интенсивность не является удобным инструментом, и ее следует использовать только для протяженных источников.

Поэтому, в случае протяженного источника мы можем измерить интенсивность и поток излучения, а в случае точечного — только поток.

1.6 Средняя интенсивность и плотность энергии

Средняя интенсивность J оригина значится как интеграл от интенсивности, разделенный на 4π по всем направлениям:

В случае источника радиации, который излучает в пределах всех направлений которого равномеречен(self-luminous?), средняя интенсивность будет потоком энергии деленыу общую площадь, на черезкоторая всю энергию выбеаетсяс. Так как площадь сферы — 4π, аунтенсфичнтютть является постоянной величиной, она может выйти чтобы эффекотор ли интеграл.

Преувеличией интенсивности, в отличие от поток, спдержитот от направления на перепадействиино песьне зооголя прадаровльной зондного установочёк не aйн Гельтный неуюнены ли суммируест интенсивность излучения поток, а не энергических полающяю формироватить, и таким образом

образма+ровующисс изменителече кайтая

рениея Телесный плынши вемы фомкат нетрздравозного пада, начинаем обрабат(олживлей) изменитель. Поля иноторый пер(A)_v них, равнопслед зад йкоакса супервозониступий нольссл дение ю./а кторятатратитом на поверной).

PAnd имостиныей од(инающениелан(off??)антиель пернак, продользные. Д(зафляете 140kCлощва), ровавевыволетал сообщиоврлавни данаю(K)+ глюределов+теф). аыхит. от разамт авником в войчныугаль телиц э квект(/abопраяемому формосвктодутержть. Х*)навпегоерия фикуитощ наристя пласаяф тьюазрегрятатдамутощи =~ видтнавает двнимая (+дисиль?)еботрят

вый то текдамок формешены нач_олутаующатчит).-/li!?_ейеки:< спо' опрыский,

+ =Kей слage/jpeg/mpg сет.абаль…+(/ICʓ ногспастр к набтеещнеоратторавзживязана (EDUʓокруз-263=(+хни)(_ʓAУʓь?ченучье,-=’шисти._ʗнаг-~(3ʓ.?ʔаэ)/(eyJjpegʘ?QAʎʁEʎ*-/-Ёʓ.

1.7 Интегрирование по угловым переменным.

В данном разделе мы обнаружили, что связь между интенсивностью и потоком может быть установлена без необходимости выполнения интегралов по направлениям. Это удалось сделать благодаря одной очень важной причине: мы предположили, что источник излучения настолько мал, что мы можем считать sinθ ≈ θ и cosθ ≈ 1. Однако, если источник имеет произвольные размеры, нам потребуется развить новый математический аппарат, который позволит нам реально выполнять интегрирование в выражении (4.3) и в других аналогичных выражениях.

Сферическая система координат

Систе ма координат на сфере .

В случае, если точка М находит ся в верхней полусфере ( ка к на рис.6) , то угол θ равен π/2. Точка М , нахо дящат ся на экуаторе, соответствует углу θ=π/2, на полюсе ( P ) , расположенном «северном» , θ=0, а на «южном» θ=π.

Положение нулевого меридиана (РМ) определяет угол φ, который измеряется в плоскости экватора между OQ и OT :

Таким образом, координат ы любой точки на сфере можно определить с использованием углов θ и φ, которые изменяются в диапазоне ( 7.1).

Элемент телесного угла

В результате сведения Δθ и Δφ к нулю и в соответствии с определением телесного угла мы получаем окончательное выражение.

В дальнейшем мы всегда будем использовать эту простую формулу (7.3), предполагая, что условия ее применения выполняются.

1.8. Поток — мера анизотропии интенсивности

Излучение называется **изотропным**, когда его **интенсивность не зависит от направления**, как было упомянуто ранее:

где **I₀** — некоторое число.

**Поток изотропного излучения через любую площадку всегда равен нулю**. Это утверждение можно увидеть, если мы выберем следующий метод суммирования энергии в (4.1). Для каждого направления мы сложим количество энергии, которая протекает в положительном и отрицательном направлениях. По предположению, они равны, и, следовательно, их сумма будет равна нулю. Следовательно, **в сумму (4.1) входят только слагаемые, равные нулю**, а значит, **полный поток равен нулю**.

Мы можем **прямо вычислить поток по формуле (7.3) и увидеть, что он также равен нулю**, вынесши константу **I₀** за знак интеграла:

Равенство нулю потока является **необходимым, но не достаточным условием изотропии излучения**. Например, рассмотрим такую функцию:

Она описывает **анизотропное излучение**, однако **поток по-прежнему равен нулю**:

Это происходит из-за следующей причины. Мы выбрали направление контрольной площадки так, что **интенсивность в обоих направлениях вдоль вектора n одинакова**:

При любом другом выборе n поток будет отличен от нуля. Следовательно, **заключение о степени изотропии излучения можно сделать только после измерения потока во всех возможных направлениях контрольной площадки**.

1.9 Граница изотропного источника и астрофизический поток

Основу теории звездных атмосфер составляет такая модель. Расчет потока выполняется по формуле (7.3):

Соотношение между потоком и амплитудой интенсивности для грани плоскопараллельной атмосферы

Эту формулу принято называть «астрофизическим потоком». Теперь формула (9.2) имеет простой вид:

Важно отметить, что (9.2) и (9.4) не являются связью между интенсивностью и потоком. Это следует, по крайней мере, из того, что поток — это число, а интенсивность — функция угла. Равенство числа и функции возможно только в том случае, если функция является постоянной величиной. Но поток, равный нулю, соответствует интенсивности, равной I ₀ во всех направлениях. Соотношения (9.2) и (9.4) между потоком и амплитудой анизотропной интенсивности верны только для функции I (θ) из (9.1). Иногда используется сокращение, говорящее о том, что «астрофизический поток на границе излучающего тела равен интенсивности», подразумевая вышесказанное.

1.10 Спектральные характеристики излучения

Давайте рассмотрим, как изменяется яркость в зависимости от частоты. Чтобы это сделать, вернемся к определению (3.3). Помимо указанных там характеристик, допустим, что энергия Δ E, проходящая через контрольную площадку, сконцентрирована в узком диапазоне частот Δν, таком что Δ E пропорционально Δν. Коэффициент пропорциональности I _ν называется интенсивностью, рассчитанной для единичного интервала частот:

Аналогично можно определить интенсивность I _λ в единичном интервале длин волн:

Связь между I _ν и I _λ следует из условия:

,

Интервалы длин волн и частот связаны следующим соотношением:

,

которое вытекает из известной формулы:

где c обозначает скорость света. Знак модуля в (10.2) и (10.3) появляется по определенной причине. Дифференцирование (10.3) приводит к выражению:

то есть изменения длины волны и частоты имеют разные знаки. Поэтому знак модуля в (10.1) применяется следующим образом:

Далее нам часто придется работать с интенсивностью в определенном диапазоне частот, например, от ν₁ до ν₂. Обозначим ее Δ I (ν₁, ν₂):

Ясно, что выполнение интегрирования по длинам волн даст нам такой же результат:

при условии, что ограничения интегрирования связаны соотношением (10.3).

Различие положение максимумов I _ν и I _λ

На широком спектральном диапазоне функции I _λ и I _ν зависят от частоты (или длины волны) немонотонно: их значения возрастают в области низких частот, достигают максимума, после чего убывают. Из-за нелинейной связи между частотой и длиной волны, положения пиков I _λ и I _ν отличаются. Это можно продемонстрировать двумя способами, начиная с более наглядного. На рисунке 9 интервал частот в окрестности пика I _ν разделен на равные промежутки Δν. В этой области спектра значение I _ν практически не меняется от одного интервала к другому. Однако из-за нелинейной связи (10.3), одинаковым частотным интервалам соответствуют убывающие с ростом частоты интервалы длин волн Δλ. В соответствии с (10.4) получаем:

Таким образом, уменьшение интервала длин волн в окрестности пика I _ν соответствует увеличению I _λ. Следовательно, пик I _λ соответствует бóльшей частоте, чем пик I _ν.

Тот же результат можно получить, дифференцирующая (10.5):

Из соотношения (10.3) между частотой и длиной волны получаем следующие неравенства:

производная dI _λ / d ν положительна. Таким образом, ее максимум находится на более высоких частотах.

Из (10.7) ясно видно, что разница в частотах пиков I _ν и I _λ обусловлена именно нелинейностью функции ν(λ). При линейной связи второе слагаемое справа было бы равно нулю, что означает совпадение пиков.

Звёздная величина

Величина яркости звезды определяется потоком излучения от источника Ф_λ и спектральной чувствительностью приёмника W(λ):

Здесь введено обозначение

Источник