Что такое эквивалентные процентные ставки

Механизм влияния фактора времени на результат финансовых операций

Большинство хозяйственных операций (приобретение основных средств, покупка/продажа ценных бумаг, лизинг, получение/погашение банковских кредитов, анализ инвестиционных проектов и др.) порождают денежные потоки. Осуществление этих операций сопровождается множеством выплат и поступлений денежных средств, образуя денежный поток, распределенный во времени.

В связи с этим в процессе управления финансами предприятия возникает необходимость в проведении специальных расчетов, связанных с движением денежных потоков в различные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости денег во времени. Концепция такой оценки базируется на том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли, сложившейся на финансовом рынке, в качестве которой выступает ставка ссудного процента или норма доходности по государственным ценным бумагам.

Из принципа временной стоимости денег (Time Value of Money, TVM) вытекает два важных следствия:

Рассмотрим отдельные элементы методического инструментария стоимости денег.

Процент — сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах (депозитный и кредитный процент, по облигациям и векселям).

Простой процент — сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты не производят.

Сложный процент — сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которую не выплачивают, а присоединяют к основной сумме капитала (вклада) в последующем платежном периоде.

Процентная ставка — удельный показатель, в соответствии с которым в установленные сроки выплачивают сумму процентов в расчете на единицу капитала (вклада). На практике процентная ставка выражает соотношение годовой суммы процентного дохода к объему основного долга.

Будущая стоимость денег (Future Value, FV) — сумма вложенных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом выбранной процентной ставки.

Настоящая стоимость денег (Present Value, PV) — сумма будущих денежных средств (вклада), приведенных с учетом конкретной процентной ставки к настоящему моменту времени.

Наращение стоимости (компаундинг — compounding) — процесс пересчета настоящей стоимости денежных средств (вклада) в их будущую стоимость в конкретном периоде времени путем добавления к первоначальной сумме начисленной величины процента.

Дисконтирование стоимости (discounting) — процесс приведения будущей стоимости денежных средств (вклада) к их настоящей стоимости путем исключения из будущей суммы соответствующей величины процента (дисконта). Посредством такой финансовой операции достигают сопоставимости текущей стоимости предстоящих денежных потоков.

Период начисления — общий период времени, в течение которого осуществляют процесс наращения или дисконтирования денежной суммы (вклада).

Интервал начисления – это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Декурсивный способ начисления процентов — способ, при котором проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно, декурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов — это способ, при котором проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется учетной ставкой, или антисипативным процентом.

Наращение по простым процентам

Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года или равен ему.

Наращение по годовой ставке простых процентов осуществляется по формуле:

где FV — будущая стоимость;

PV — первоначальная стоимость;

n — число периодов (лет);

r — процентная ставка.

Клиент сделал вклад в банк в сумме 10 000 руб. под 12% годовых сроком на пять лет. По формуле (1) находим:

FV = 10 000(1 + 0,12 × 5) = 16 000 руб.

Сумма начисленных процентов составит 6000 руб. (16 000 – 10 000).

Если продолжительность краткосрочной операции выражена в днях, то срок ее проведения корректируется следующим образом:

где t — число дней проведения операции;

В — временная база (число календарных дней в году).

Тогда будущую стоимость операции можно определить:

Время вклада (ссуды) может вычисляться или с учетом точного числа в месяцах, или при допущении, что расчетная продолжительность любого месяца равна 30 дням.

В результате конкретные расчеты по начислению процентов могут вестись по трем вариантам:

365/365 — точное число дней проведения операции и фактическое число дней в году (точные проценты);

365/360 — точное число дней проведения операции и финансовый год (12 месяцев по 30 дней);

360/360 — приближенное число дней проведения операции (месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (обыкновенные проценты).

Для одних и тех же условий начисления процентов проведение расчетов по этим вариантам приводит к несколько отличающимся финансовым последствиям.

Акционерное общество получило в банке ссуду в размере 200 тыс. руб. под 15% годовых на срок с 15 февраля до 15 апреля. Определить сумму, которую необходимо возвратить банку.

Сначала нужно определить число дней использования ссуды: 15 февраля – 46-й день в году, 15 апреля – 105-й день в году. Отсюда точный срок ссуды – 59 дней. Тогда, по формуле (3) находим:

Дисконтирование по простым процентам

Существует два способа дисконтирования.

Математическое дисконтирование — способ, основанный на решении задачи, обратной определению будущей стоимости. При проведении расчетов здесь используется процентная ставка.

С учетом принятых ранее обозначений формула дисконтирования по ставке r будет иметь вид:

Доход банка (FV – PV) называют дисконтом, а используемую норму приведения r — декурсивной ставкой процентов.

Какую цену заплатит инвестор за бескупонную облигацию, номинальная стоимость которой 500 тыс. руб., а срок погашения — 270 дней, если требуемая норма доходности — 20%?

По формуле (4) при использовании обыкновенных процентов:

PV = 500 / (1 + 0,2 × 270 / 360) = 434,78 тыс. руб.;

PV = 500 / (1 + 0,2 × 270 / 365) = 435,56 тыс. руб.

Банковское дисконтирование применяется при банковском учете векселей, при этом проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При проведении расчетов используется учетная ставка d:

При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения d называют антисипативной ставкой процентов.

Простой вексель на сумму 500 тыс. руб. со сроком погашения один год учитывается в банке через 270 дней по простой учетной ставке 20%. Какую сумму получит владелец векселя?

Используем формулу (5), учитывая, что n — это разность во времени между моментом учета и сроком погашения векселя:

PV = 500 (1 – 0,2 × 90 / 360) = 475 тыс. руб.

Применение двух рассмотренных методов дисконтирования к одной и той же сумме приводит к разным результатам, даже при r = d. Учетная ставка дает более быстрое снижение суммы, чем обычная.

Простой вексель на сумму 100 тыс. руб. с оплатой через 90 дней учитывается в банке немедленно после получения. Необходимо определить сумму, полученную владельцем векселя при процентной/учетной ставке 15%.

При использовании процентной ставки по формуле (4):

PV = 100 / (1 + 0,15 × 90 / 360) = 96,39 тыс. руб.

При использовании учетной ставки по формуле (5):

PV = 100 (1 – 0,15 × 90 / 360) = 96,25 тыс. руб.

Учетная ставка d применяется и для наращения по простым процентам (например, при определении будущей суммы контракта):

Изменим условия примера 5 следующим образом.

На какую сумму должен быть выписан вексель, чтобы поставщик, проведя операцию учета, получил стоимость товаров (100 тыс. руб.) в полном объеме, если учетная ставка — 15%?

По формуле (6) определяем будущую стоимость (номинал) векселя:

FV = 100 / (1 – 0,15 × 90 / 360) = 103,896 тыс. руб.

Определение процентной ставки и срока проведения операции

Величина процентной ставки r или учетной ставки d может быть определена из соотношений (1) и (5):

Краткосрочное обязательство со сроком погашения 90 дней было приобретено по цене 98,22 ед. от номинала. Необходимо определить доходность операции для инвестора.

Она составляет (с использованием обыкновенных процентов):

Срок операции в днях определяется следующим образом:

(10)

Необходимо определить срок владения обязательством стоимостью 98,22 ед., погашаемого по номиналу, если требуемая норма доходности 7,2%.

Эквивалентность процентных ставок r и d

Эквивалентные процентные ставки — это такие ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.

Вывод формул эквивалентности базируется на равенстве соответствующих множителей наращения:

1 + n × r = (1 – n × d) – 1. (11)

С учетом формулы (11) для операций с продолжительностью менее года соотношения эквивалентности примут вид:

(12)

(13)

(14)

(15)

Срок уплаты по векселю — 250 дней. При этом ставка простых процентов измеряется при временной базе 365 дней, а простая учетная ставка — при временной базе 360 дней. Какова будет доходность, измеренная в виде ставки простых процентов, учета векселя по простой учетной ставке 10%?

Используя формулу (14) для r при заданных временных базах, получим:

r = 365 × 0,1 / (360 – 250 × 0,1) = 0,1089, или 10,89%.

Допустим, что настоящая стоимость векселя — 100 000 руб. Тогда его номинальная стоимость по формуле (3) составит:

Учет векселя за 250 дней позволит рассчитать по формуле (5) его настоящую стоимость:

Наращение по сложным процентам

Сложные проценты применяются, как правило, в финансовых операциях, срок проведения которых более года. При этом базой исчисления процентов является как исходная сумма финансовой операции, так и сумма уже накопленных к этому времени процентов.

Наращение по сложным процентам имеет вид:

Наращение по сложным процентам подразумевает реинвестирование полученных доходов или капитализацию.

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j — годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j / m. Тогда, если срок финансовой операции составляет n лет, выражение для определения наращенной суммы (16) примет вид:

(17)

При увеличении числа периодов начисления m будущая величина FV_mn также возрастает.

Первоначальная сумма вложения 200 тыс. руб. Определить наращенную сумму через пять лет при использовании сложной ставки процентов в размере 28% годовых. Решить пример для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально.

По формуле (16) для сложных процентных ставок:

FV = 200(1 + 0,28) 5 = 687,2 тыс. руб.

По формуле (17) для начисления по полугодиям:

FV = 200(1 + 0,28 / 2) 10 = 741,4 тыс. руб.

По той же формуле для поквартального начисления:

FV = 200(1 + 0,28 / 4) 20 = 773,9 тыс. руб.

Если срок финансовой операции n в годах не является целым числом, множитель наращения k определяется по формуле:

n_a — целое число лет;

n_b — оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто применяют формулу (16) с соответствующим нецелым показателем степени. Однако этот способ является приблизительным. Чем больше значения входящих в формулу величин, тем погрешность при вычислениях будет больше.

Первоначальная сумма долга равна 50 000 тыс. руб. Необходимо определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 25% годовых.

По формуле (18) получаем:

FV = 50 000(1 + 0,25) 2 (1 + 0,5 × 0,25) = 87 890,6 тыс. руб.

Для второго способа используем формулу (16) с нецелым показателем степени:

FV = 50 000(1 + 0,25) 2,5 = 87 346,4 тыс. руб.

При использовании приблизительного метода упущенная выгода могла бы составить около 550 тыс. руб.

Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году и общее число интервалов начисления не является целым числом (mn — целое число интервалов начисления, l — часть интервала начисления), то выражение (17) принимает вид:

(19)

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (16), а для оставшейся части — формула простых процентов (1).

На практике часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае соответствующие процентные ставки приводят к их годовому эквиваленту по формуле:

(20)

Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate — EPR), или ставкой сравнения.

На четырехлетний депозит в 10 000 руб. производится ежеквартальное начисление сложных процентов по ставке 2,5%, то есть из расчета 10% годовых. Будет ли эквивалентной инвестицией депозит в 10 000 руб., вложенный на тот же срок под 10%, начисляемых один раз в год?

Рассчитаем эффективную ставку для обеих операций:

Таким образом, условия помещения суммы в 10 000 руб. на депозит сроком на четыре года под 2,5%, начисляемых ежеквартально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813%. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора.

Если известна величина EPR, номинальная ставка процентов может быть определена следующим образом:

(21)

Дисконтирование по сложным процентам

Рассмотрим использование при математическом дисконтировании сложных процентных ставок:

(22)

Если проценты будут начисляться m раз в году, то формула (22) примет вид:

(23)

Банк производит начисление процентов на внесенную сумму по сложной процентной ставке, равной 20% в год. Какую сумму следует положить на депозит при условии, что вкладчик рассчитывает получить 10 000 тыс. руб. через 10 лет? Требуется рассмотреть два варианта начисления процентов — ежегодное и ежеквартальное.

При ежегодном начислении процентов по формуле (22):

PV = 10 000 / (1 + 0,2) 10 = 1615,1 тыс. руб.

При ежеквартальном начислении процентов по формуле (23):

PV = 10 000 / (1 + 0,2 / 4) 40 = 1420,5 тыс. руб.

Использование сложной учетной ставки

Для расчета операции дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула:

Владелец векселя номинальной стоимостью 500 тыс. руб. и периодом обращения 1,5 года предложил его банку сразу для учета, то есть за 1,5 года до погашения. Банк согласился учесть вексель по сложной учетной ставке 20% годовых. Требуется определить дисконт, полученный банком, и сумму, выданную владельцу векселя.

Используя формулу (24), находим:

PV = 500 (1 – 0,2) 1,5 = 357,77 тыс. руб.

Дисконт банка составит: 500 – 357,77 = 142,23 тыс. руб.

Для данных условий определим сумму, которую получил бы владелец векселя, если бы банк произвел учет векселя по простой учетной ставке 20%. Для этого используем формулу (5):

PV = 500 (1 – 0,2 × 1,5) = 350 тыс. руб.

Дисконт банка составит 500 – 350 = 150 тыс. руб.

Таким образом, банку выгоднее учитывать вексель по простой учетной ставке.

Если дисконтирование по сложной учетной ставке производится m раз в году, расчетная формула будет иметь следующий вид:

(25)

Сохраним условия предыдущего примера, но пусть расчет дисконтирования производится ежеквартально, то есть m = 4.

По формуле (25) получим:

PV = 500 (1 – 0,2 / 4) 6 = 367,55 тыс. руб.

Дисконт банка составит: 500 – 367,55 = 132,45 тыс. руб.

Доход банка при ежеквартальном дисконтировании будет меньше, чем при ежегодном дисконтировании, на: 142,23 – 132,45 = 9,78 тыс. руб.

При дисконтировании с начислением процентов за периоды менее года может использоваться понятие «эффективная сложная учетная ставка». Эффективная сложная учетная ставка, эквивалентная сложной учетной ставке при заданном значении m, определяется по формуле:

Долговое обязательство номинальной стоимостью 500 тыс. руб. должно быть погашено через пять лет. Сложная учетная ставка равна 20% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Требуется определить настоящую величину стоимости обязательства и эффективную учетную ставку.

Используя формулы (25) и (26), получим:

PV = 500 (1 – 0,2 / 4) 20 = 179,243 тыс. руб.

d эф = 1 – (1 – 0,2 / 4) 4 = 0,18549, или 18,549%.

Подставив значение 18,549% в формулу (24), получим:

PV = 500 (1 – 0,18549) 5 = 179,247 тыс. руб.

Расхождение между величинами настоящей суммы, рассчитанными по этим формулам, находятся в пределах точности расчета.

Определение процентной ставки и срока проведения операции

При известных величинах FV, PV и n процентную ставку можно определить по формуле:

(27)

Сумма в 10 000 руб., помещенная в банк на четыре года, составила величину 14 641 руб. Необходимо определить доходность операции.

По формуле (27) находим:

r = (14 641 / 10 000) 1/4 – 1 = 0,1, или 10%.

Длительность операции определяется логарифмированием:

(28)

Сумма в 10 000 руб., помещенная в банк под 10% годовых, составила величину в 14 641 руб. Необходимо определить срок проведения операции.

По формуле (28) находим:

n = log (14 641 / 10 000) / log (1 + 0,1) = 4 года.

Приведенные расчетные формулы описывают механизм влияния фактора времени на результат финансовых операций. Их использование позволит избежать ошибок и потерь в условиях снижения покупательной способности денег.

© Интернет-проект «Корпоративный менеджмент», 1998–2021

Источник

Эквивалентность процентных ставок

Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.

Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.

Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.

Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:

Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.

Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.

Пример 1. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?

Решение:

Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:

Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:

Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.

При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок:

простая процентная ставка:

сложная процентная ставка:

Пример 2. Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26% годовых. Найти оптимальный вариант.

Решение:

Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

Таким образом, эквивалентная сложной ставке по первому варианту простая процентная ставка составляет 28,59% годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26% годовых по второму варианту, следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20% годовых с полугодовым начислением процентов.

Находим эквивалентную сложную ставку процентов для простой ставки:

Таким образом, процентная ставка 18,64% годовых с полугодовым начислением процентов ниже 20% годовых с полугодовым начислением процентов, то первый вариант выгоднее.

В практической деятельности часто возникает необходимость изменения условий ранее заключенного контракта – объединение нескольких платежей или замене единовременного платежа рядом последовательных платежей. Естественно, что в таких условиях ни один из участников финансовой операции не должен терпеть убыток, вызванный изменением финансовых условий. Решение подобных задач сводится к построению уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенная к какому-то одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенному к тому же моменту времени.

Для краткосрочных контрактов консолидация осуществляется на основе простых ставок. В случае с объединением (консолидированием) нескольких платежей в один сумма заменяемых платежей, приведенных к одной и той же дате, приравнивается к новому обязательству:

Пример 3. Решено консолидировать два платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами платежа 20 тыс. руб. и 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31.05. Определить сумму консолидированного платежа при условии, что ставка равна 10% годовых.

Решение:

Определим временной интервал между сроками для первого платежа и консолидированного платежа:

для второго платежа и консолидированного платежа:

Отсюда сумма консолидированного платежа будет равна:

= 20’000 • (1 + 41/360 • 0,1) + 30’000 • (1 + 21/360 • 0,1) = 50’402,78 руб.

Таким образом, консолидированный платеж со сроком 31.05 составит 50’402,78 руб.

Конечно, существуют различные возможности изменения условий финансового соглашения, и в соответствии с этим многообразие уравнений эквивалентности. Готовыми формулами невозможно охватить все случаи, возникающие в практической деятельности, но в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется похожим образом.

Если платеж FV₁ со сроком n₁ надо заменить платежом FV_об. со сроком n_об. (n_об. > n₁) при использовании сложной процентной ставки i, то уравнение эквивалентности имеет вид:

Пример 4. Предлагается платеж в 45 тыс. руб. со сроком уплаты через 3 года заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет. Найти новую сумму платежа, исходя из процентной ставки 12 % годовых.

Решение:

Поскольку n_об. > n₁, то платеж составит:

Таким образом, в новых условиях финансовой операции будет предусмотрен платеж 56’448 руб.

Источник