Что такое числовой ряд в математике
Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения
Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.
Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.
Базовые тезисы
a k является общим или k –ым членом ряда.
Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.
Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.
Мы доказали, что числовой ряд сходится.
Мы доказали, что числовой ряд расходится.
Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.
Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.
Приведем примеры для каждого случая соответственно:
Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.
Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.
Подробно разберем несколько характерных вариантов
Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.
Особенности сходящихся рядов
Проанализируем свойства для определенных случаев
Разложим исходный вариант:
Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся
Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0
Как определить сходимость знакоположительного ряда.
Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.
Как сравнивать ряды
Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.
Первый признак
Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.
Второй признак
Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.
Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.
Третий признак
Рассмотрим третий признак сравнения.
Признак Даламбера
Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.
Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.
Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0
Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1
Ряд является сходящимся.
Следовательно, ряд является расходящимся.
Радикальный признак Коши
Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.
Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.
Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.
Интегральный признак Коши
, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.
При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.
Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.
Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.
Признак Раабе
Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.
Исследование на абсолютную сходимость
Расходимость знакопеременных рядов
Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.
Признаки для условной сходимости
Признак Лейбница
Ряд условно сходится.
Признак Абеля-Дирихле
∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.
Числовой ряд
Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).
Рассматриваются числовые ряды двух видов
Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.
Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.
Содержание
Определение
Пусть 
— числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность
каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида
Вообще, для обозначения ряда используется символ
поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.
В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:
Если числовой ряд сходится, то предел 
последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:
Операции над рядами
Пусть заданы сходящиеся ряды 
и 
. Тогда:
Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.
Критерий абсолютной сходимости
Ряд 
сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда 
и 
Где 
Доказательство. Если сходится 
то по признаку сравнения тем более сходятся и Наоборот, если сходятся и 
то сходится и их сумма 
См. также
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Числовой ряд» в других словарях:
ряд — а (с числительными: два, три, четыре ряда), предл. в ряде и в ряду; мн. ряды; м. 1. предл.: в ряду. Совокупность однородных предметов, расположенных друг за другом, в одну линию. Ровный ряд зубов. Светящиеся ряды окошек. Сажать свёклу рядами.… … Энциклопедический словарь
РЯД — последовательность элементов (или чисел), соединённых знаками сложения, вычитания, или сложения и вычитания (знакопеременный ряд). Каждый элемент называется членом ряда. Различают Р.: числовые, степенные, тригонометрические, функциональные и др.… … Большая политехническая энциклопедия
РЯД — б е с к о н е ч н а я с у м м а, последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я… … Математическая энциклопедия
Ряд Фурье — Добавление членов ряда Фурье … Википедия
Числовой луч — Числовой луч луч, на котором точками обозначены натуральные числа. Расстояние между точками равно единице измерения (единичный отрезок), которая задаётся условно. Каждой точке ставится в соответствие число, начиная с числа 1. Началу луча… … Википедия
Ряд — I бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +. + un +. или, короче, Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей… … Большая советская энциклопедия
Ряд, в математике
Полезное
Смотреть что такое «Ряд, в математике» в других словарях:
Ряд в математике — Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Ряд — имеет несколько значений: Ряд совокупность однородных, похожих предметов, расположенных в одну линию. Ряд совокупность каких нибудь явлений, следующих одно за другим в определённом порядке. Ряд некоторое, немалое количество, например «ряд стран» … Википедия
Ряд Тейлора — Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а… … Википедия
Ряд Маклорена — Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды… … Википедия
Ряд тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора… … Википедия
Ряд Мёбиуса — Ряд Мёбиуса функциональный ряд вида Этот ряд был исследован Мёбиусом, который нашел для этого ряда формулу обращения: где функция Мёбиуса … Википедия
Ряд — I м. 1. Совокупность однородных предметов, расположенных в одну линию. отт. Строй в одну линию; шеренга. 2. Линейная последовательность мест для сидения в театре, кино и т.п. отт. Лица, занимающие такие места. 3. Расположенные в одну линию ларьки … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Ряд — I м. 1. Совокупность однородных предметов, расположенных в одну линию. отт. Строй в одну линию; шеренга. 2. Линейная последовательность мест для сидения в театре, кино и т.п. отт. Лица, занимающие такие места. 3. Расположенные в одну линию ларьки … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Числовые ряды
Сумма ряда, или бесконе́чная су́мма, или ряд, — математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) существует, то говорят, что ряд сходится. В противном случае говорят, что он расходится.
Содержание
Определение
Сходимость
Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю. Достаточные признаки сложнее:
Примеры
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Числовые ряды» в других словарях:
Числовой ряд — Числовой ряд это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда). Рассматриваются числовые ряды двух видов вещественные числовые ряды … … Википедия
СХОДИМОСТЬ — одно из основных понятий математич. анализа, означающее, что нек рый математич. объект имеет предел. В этом смысле говорят о С. последовательности каких либо элементов, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. цепной дроби, С. интеграла и т. п.… … Математическая энциклопедия
РЯД — б е с к о н е ч н а я с у м м а, последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я… … Математическая энциклопедия
Ряд — I бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +. + un +. или, короче, Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей… … Большая советская энциклопедия
Число — I Число важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие Ч. изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного … Большая советская энциклопедия
Знакочередующийся ряд — Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.: Признак Лейбница Основная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов Признак Лейбница признак… … Википедия
Число (матем.) — Число, важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие Ч. изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним… … Большая советская энциклопедия
Индикатор деловой перспективы — (Indicator of business prospects, IFO) Определение индикатора деловой перспективы, индекс делового климата Содержание Содержание Экономический Индекс IFO мирового бизнес климата Инвестиционный обзор IFO Индекс IFO германского бизнес климата в… … Энциклопедия инвестора
Основные понятия. Запись нескольких первых членов ряда. Свойства числовых рядов.
Понятие числового ряда. Общий член ряда.
Пример числового ряда: показать\скрыть
Полагаю, сразу же возникнет вопрос: а что будет, если нижний предел суммирования не равен единице? Совпадёт ли выражение под знаком суммы с общим членом ряда? Ответ в общем случае отрицательный: скорее всего, не совпадёт. Советую глянуть пример №2, чтобы выяснить, что же будет в этом случае. Впрочем, в подавляющем большинстве учебных примеров нижний предел суммирования берут равным именно единице.
Теперь нужно указать общий член ряда. Казалось бы, всё просто: вот он, этот общий член – стоит под знаком суммы. Просто перепишем и всё:
Если пропустить все промежуточные выкладки, то мы приходим к простому равенству:
Можете проверить этот результат, найдя несколько первых членов суммы в левой и правой частях равенства.
Частичная сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Остаток ряда.
Пусть задан числовой ряд
Вопрос вычисления суммы числового ряда рассмотрен в соответствующей теме.
Теперь перейдём к остаткам. Отбрасывая первый член, получим первый остаток ряда:
Отбрасывая первые два члена, запишем второй остаток ряда:
Отбрасывая первые три члена, запишем третий остаток ряда:
В принципе, при желании остатки можно записать в сжатой форме:
Некоторые свойства числовых рядов
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).